余弦定理练习
余弦定理把勾股定理推广到任意三角形：一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与夹角余弦的两倍乘积。
已知两边及夹角求第三边，或已知三边求角时都要用到它。
例题与解析
余弦定理：a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α。它是勾股定理的推广：当 α = 90° 时 cos α = 0，公式就变成 a² = b² + c²。已知两边及其夹角、或已知三边时要用它。
例题 1
三角形中 b = 5 cm、c = 7 cm、α = 60°，求 a。
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a ≈ 6,24 cm
a² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · cos 60° = 74 − 70 · 0,5 = 39，所以 a = √39 ≈ 6,24 cm。
例题 2
夹角为 90° 时余弦定理变成什么？
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勾股定理
cos 90° = 0，−2bc·cos α 这一项消失，剩下 a² = b² + c²。
例题 3
三角形中 a = 6 cm、b = 5 cm、c = 7 cm，求角 γ。
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γ ≈ 78,5°
cos γ = (a² + b² − c²) : (2ab) = (36 + 25 − 49) : 60 = 12 : 60 = 0,2，所以 γ ≈ 78,5°。
例题 4
什么时候用余弦定理而不是正弦定理？
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已知两边及夹角，或已知三边时
这两种情况下缺少正弦定理所需的「边与其对角」。
常见错误
明明有「边与其对角」却用余弦定理——这时正弦定理更简单。另外解角时忘记要用反余弦 arccos。
领域: 几何从 10 年级起 · 年级依据北威州课标，其他联邦州的教学安排可能不同。
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