正弦定理与余弦定理练习单：免费德文 PDF 与解析
10 年级：第 1–5 题分别练两个定理，第 6–10 题练应用、多步计算与面积。
PDF 与题目为德文
下载含题目与解析的德文 PDFSinussatz und Kosinussatz
Zeichne zu jeder Aufgabe eine Skizze. Die ersten fünf Aufgaben üben beide Sätze einzeln; die nächsten fünf üben Anwendungen und mehrschrittige Aufgaben.
Aufgabe 1
Im Dreieck ABC ist der Winkel bei A 40° und der Winkel bei B 60° groß. Die Seite a, die dem Winkel bei A gegenüberliegt, ist 5 cm lang. Berechne die Seite b.
Lösung und Rechenweg anzeigen
b ≈ 6,74 cm
Sinussatz: b = a · sin(60°) : sin(40°) = 5 cm · 0,8660 : 0,6428 ≈ 6,74 cm.
Aufgabe 2
Im Dreieck ABC ist der Winkel bei B 50° und der Winkel bei C 70° groß. Die Seite b ist 7 cm lang. Berechne die Seite c.
Lösung und Rechenweg anzeigen
c ≈ 8,59 cm
Sinussatz: c = b · sin(70°) : sin(50°) = 7 cm · 0,9397 : 0,7660 ≈ 8,59 cm. Kontrolle: Der Winkel bei A ist 180° − 50° − 70° = 60°.
Aufgabe 3
Im Dreieck ABC ist die Seite a = 6 cm und die Seite b = 8 cm lang; der Winkel bei A ist 30° groß. Berechne den Winkel bei B.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Winkel B ≈ 41,8° oder ≈ 138,2°
Sinussatz: sin(Winkel B) = b · sin(30°) : a = 8 · 0,5 : 6 ≈ 0,6667. Wegen h = b · sin(30°) = 4 < a < b gibt es zwei Lösungen: B ≈ 41,8° oder B ≈ 138,2° (C dann 11,8°).
Aufgabe 4
Im Dreieck ABC ist b = 5 cm, c = 7 cm und der Winkel bei A 60° groß. Berechne die Seite a.
Lösung und Rechenweg anzeigen
a = √39 ≈ 6,24 cm
Kosinussatz: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos(60°) = 25 + 49 − 35 = 39. Also a = √39 ≈ 6,24 cm.
Aufgabe 5
Im Dreieck ABC sind die Seiten a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm lang. Berechne den Winkel bei C.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Winkel C ≈ 78,5°
Kosinussatz: cos(Winkel C) = (a² + b² − c²) : (2 · a · b) = (25 + 36 − 49) : 60 = 0,2. Also Winkel C ≈ 78,5°.
Aufgabe 6
Ein Grundstück hat die Form eines Dreiecks mit den Seiten 8 m, 5 m und 7 m. Berechne den größten Winkel dieses Dreiecks.
Lösung und Rechenweg anzeigen
größter Winkel ≈ 81,8°
Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber: cos(Winkel) = (5² + 7² − 8²) : (2 · 5 · 7) = 10 : 70 ≈ 0,1429. Also ≈ 81,8°.
Aufgabe 7
Zwei Wege sind 4,2 km und 3,5 km lang und schließen einen Winkel von 65° ein. Wie weit liegen ihre Endpunkte auseinander?
Lösung und Rechenweg anzeigen
≈ 4,18 km
Kosinussatz: d² = 17,64 + 12,25 − 2 · 4,2 · 3,5 · cos(65°) ≈ 29,89 − 12,42 = 17,47. Also d ≈ 4,18 km.
Aufgabe 8
Im Dreieck ABC ist a = 10 cm, c = 7 cm und der Winkel bei C 40° groß. Berechne den spitzen Winkel bei A und danach den Winkel bei B.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Winkel A ≈ 66,7°; Winkel B ≈ 73,3°
Sinussatz: sin(Winkel A) = 10 · sin(40°) : 7 ≈ 0,9183, also Winkel A ≈ 66,7°; der zweite Wert 113,3° ist die stumpfe Lösung. Dann Winkel B = 180° − 40° − 66,7° = 73,3°.
Aufgabe 9
Im Dreieck ABC ist b = 9 cm, c = 11 cm und der Winkel bei A 70° groß. Berechne die Seite a und danach den Winkel bei B.
Lösung und Rechenweg anzeigen
a ≈ 11,59 cm; Winkel B ≈ 46,9°
Kosinussatz: a² = 81 + 121 − 2 · 9 · 11 · 0,3420 ≈ 134,28, also a ≈ 11,59 cm. Sinussatz: sin(Winkel B) = 9 · sin(70°) : 11,59 ≈ 0,7297. Weil a > b ist, nur der spitze Wert: B ≈ 46,9°.
Aufgabe 10
Im Dreieck ABC ist a = 12 cm, b = 9 cm und der Winkel bei C 55° groß. Berechne die Seite c und den Flächeninhalt.
Lösung und Rechenweg anzeigen
c ≈ 10,06 cm; A ≈ 44,23 cm²
Kosinussatz: c² = 144 + 81 − 2 · 12 · 9 · 0,5736 ≈ 101,11, also c ≈ 10,06 cm. Fläche: A = 0,5 · 12 cm · 9 cm · 0,8192 ≈ 44,23 cm².