Kosinussatz üben
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke: Das Quadrat einer Seite ist die Summe der Quadrate der anderen Seiten minus dem doppelten Produkt mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
Übungen mit Lösungen
Der Kosinussatz lautet a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α. Er erweitert den Satz des Pythagoras: Bei α = 90° ist cos α = 0 und die Formel wird zu a² = b² + c². Du brauchst ihn, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel oder alle drei Seiten bekannt sind.
Aufgabe 1
In einem Dreieck ist b = 5 cm, c = 7 cm und α = 60°. Berechne a.
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a ≈ 6,24 cm
a² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · cos 60° = 74 − 70 · 0,5 = 39. Also a = √39 ≈ 6,24 cm.
Aufgabe 2
Was ergibt der Kosinussatz, wenn der eingeschlossene Winkel 90° groß ist?
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den Satz des Pythagoras
cos 90° = 0, damit fällt der Term −2bc·cos α weg und es bleibt a² = b² + c².
Aufgabe 3
In einem Dreieck ist a = 6 cm, b = 5 cm und c = 7 cm. Berechne den Winkel γ.
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γ ≈ 78,5°
cos γ = (a² + b² − c²) : (2ab) = (36 + 25 − 49) : 60 = 12 : 60 = 0,2. Also γ ≈ 78,5°.
Aufgabe 4
Wann brauchst du den Kosinussatz statt des Sinussatzes?
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bei zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel oder bei drei Seiten
In diesen Fällen fehlt das Paar aus Seite und Gegenwinkel, das der Sinussatz voraussetzt.
Häufiger Fehler
Den Kosinussatz zu benutzen, obwohl ein Paar aus Seite und Gegenwinkel vorliegt — dann ist der Sinussatz einfacher. Und beim Auflösen nach dem Winkel zu vergessen, dass du mit arccos rechnen musst.
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