Sinussatz und Kosinussatz: kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen (PDF)
Klasse 10: Aufgaben 1–5 üben beide Sätze einzeln; 6–10 üben Anwendungen, mehrschrittige Aufgaben und den Flächeninhalt.
PDF und Aufgaben auf Deutsch
PDF mit Aufgaben und Lösungen herunterladenSinussatz und Kosinussatz
Zeichne zu jeder Aufgabe eine Skizze. Die ersten fünf Aufgaben üben beide Sätze einzeln; die nächsten fünf üben Anwendungen und mehrschrittige Aufgaben.
Aufgabe 1
Im Dreieck ABC ist der Winkel bei A 40° und der Winkel bei B 60° groß. Die Seite a, die dem Winkel bei A gegenüberliegt, ist 5 cm lang. Berechne die Seite b.
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b ≈ 6,74 cm
Sinussatz: b = a · sin(60°) : sin(40°) = 5 cm · 0,8660 : 0,6428 ≈ 6,74 cm.
Aufgabe 2
Im Dreieck ABC ist der Winkel bei B 50° und der Winkel bei C 70° groß. Die Seite b ist 7 cm lang. Berechne die Seite c.
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c ≈ 8,59 cm
Sinussatz: c = b · sin(70°) : sin(50°) = 7 cm · 0,9397 : 0,7660 ≈ 8,59 cm. Kontrolle: Der Winkel bei A ist 180° − 50° − 70° = 60°.
Aufgabe 3
Im Dreieck ABC ist die Seite a = 6 cm und die Seite b = 8 cm lang; der Winkel bei A ist 30° groß. Berechne den Winkel bei B.
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Winkel B ≈ 41,8° oder ≈ 138,2°
Sinussatz: sin(Winkel B) = b · sin(30°) : a = 8 · 0,5 : 6 ≈ 0,6667. Wegen h = b · sin(30°) = 4 < a < b gibt es zwei Lösungen: B ≈ 41,8° oder B ≈ 138,2° (C dann 11,8°).
Aufgabe 4
Im Dreieck ABC ist b = 5 cm, c = 7 cm und der Winkel bei A 60° groß. Berechne die Seite a.
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a = √39 ≈ 6,24 cm
Kosinussatz: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos(60°) = 25 + 49 − 35 = 39. Also a = √39 ≈ 6,24 cm.
Aufgabe 5
Im Dreieck ABC sind die Seiten a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm lang. Berechne den Winkel bei C.
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Winkel C ≈ 78,5°
Kosinussatz: cos(Winkel C) = (a² + b² − c²) : (2 · a · b) = (25 + 36 − 49) : 60 = 0,2. Also Winkel C ≈ 78,5°.
Aufgabe 6
Ein Grundstück hat die Form eines Dreiecks mit den Seiten 8 m, 5 m und 7 m. Berechne den größten Winkel dieses Dreiecks.
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größter Winkel ≈ 81,8°
Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber: cos(Winkel) = (5² + 7² − 8²) : (2 · 5 · 7) = 10 : 70 ≈ 0,1429. Also ≈ 81,8°.
Aufgabe 7
Zwei Wege sind 4,2 km und 3,5 km lang und schließen einen Winkel von 65° ein. Wie weit liegen ihre Endpunkte auseinander?
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≈ 4,18 km
Kosinussatz: d² = 17,64 + 12,25 − 2 · 4,2 · 3,5 · cos(65°) ≈ 29,89 − 12,42 = 17,47. Also d ≈ 4,18 km.
Aufgabe 8
Im Dreieck ABC ist a = 10 cm, c = 7 cm und der Winkel bei C 40° groß. Berechne den spitzen Winkel bei A und danach den Winkel bei B.
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Winkel A ≈ 66,7°; Winkel B ≈ 73,3°
Sinussatz: sin(Winkel A) = 10 · sin(40°) : 7 ≈ 0,9183, also Winkel A ≈ 66,7°; der zweite Wert 113,3° ist die stumpfe Lösung. Dann Winkel B = 180° − 40° − 66,7° = 73,3°.
Aufgabe 9
Im Dreieck ABC ist b = 9 cm, c = 11 cm und der Winkel bei A 70° groß. Berechne die Seite a und danach den Winkel bei B.
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a ≈ 11,59 cm; Winkel B ≈ 46,9°
Kosinussatz: a² = 81 + 121 − 2 · 9 · 11 · 0,3420 ≈ 134,28, also a ≈ 11,59 cm. Sinussatz: sin(Winkel B) = 9 · sin(70°) : 11,59 ≈ 0,7297. Weil a > b ist, nur der spitze Wert: B ≈ 46,9°.
Aufgabe 10
Im Dreieck ABC ist a = 12 cm, b = 9 cm und der Winkel bei C 55° groß. Berechne die Seite c und den Flächeninhalt.
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c ≈ 10,06 cm; A ≈ 44,23 cm²
Kosinussatz: c² = 144 + 81 − 2 · 12 · 9 · 0,5736 ≈ 101,11, also c ≈ 10,06 cm. Fläche: A = 0,5 · 12 cm · 9 cm · 0,8192 ≈ 44,23 cm².
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