Kurvendiskussion üben
Du führst eine vollständige Kurvendiskussion durch: Definitionsbereich, Ableitungen, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte, Verhalten im Unendlichen und eine Skizze.
Damit beurteilst du auch komplexe Modelle aus Naturwissenschaft und Wirtschaft.
Übungen mit Lösungen
Bei einer Kurvendiskussion untersuchst du eine Funktion in fester Reihenfolge: Definitionsbereich, Nullstellen, Ableitungen, Extrema, Wendepunkte und Verhalten für x gegen unendlich. Extrema findest du über die Nullstellen der ersten Ableitung; die zweite Ableitung entscheidet über Hoch- oder Tiefpunkt.
Aufgabe 1
Bestimme die Nullstellen von f(x) = x² − 4x.
Lösung und Rechenweg anzeigen
x = 0 und x = 4
Klammere x aus: x · (x − 4) = 0, also x = 0 oder x = 4.
Aufgabe 2
Bestimme die Extremstelle von f(x) = x² − 4x.
Lösung und Rechenweg anzeigen
x = 2, ein Tiefpunkt
f′(x) = 2x − 4. Null setzen ergibt x = 2. Wegen f″(x) = 2 > 0 liegt ein Tiefpunkt vor.
Aufgabe 3
Wie findest du einen Wendepunkt?
Lösung und Rechenweg anzeigen
über die Nullstelle der zweiten Ableitung
An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung. Dort gilt f″(x) = 0.
Aufgabe 4
Wie verhält sich f(x) = −x³ für große x?
Lösung und Rechenweg anzeigen
es geht gegen −unendlich
Der höchste Exponent ist 3 und damit ungerade; der Faktor −1 macht das Verhalten für große x negativ.
Häufiger Fehler
Nur die erste Ableitung zu prüfen und die Art des Extremums nicht zu bestimmen. Erst die zweite Ableitung oder ein Vorzeichenwechsel entscheidet, ob es ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist.
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