e-Funktion üben
Die natürliche Exponentialfunktion beschreibt Wachstum, dessen Rate proportional zum vorhandenen Bestand ist.
Genau das passiert beim Zinseszins, beim Bevölkerungswachstum, beim radioaktiven Zerfall und beim Abkühlen eines Getränks.
Übungen mit Lösungen
Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e^x hat die Basis e ≈ 2,718. Ihre Besonderheit: Sie ist ihre eigene Ableitung, es gilt also f′(x) = e^x. Sie ist überall positiv und wächst schneller als jede Potenz. In f(x) = a · e^(k·x) beschreibt k die Wachstumsrate.
Aufgabe 1
Leite f(x) = e^x ab.
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f′(x) = e^x
Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung, der Ausdruck bleibt also unverändert.
Aufgabe 2
Leite f(x) = e^(2x) ab.
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f′(x) = 2 · e^(2x)
Nach der Kettenregel wird die innere Ableitung, also 2, als Faktor vor den Ausdruck geschrieben.
Aufgabe 3
Kann e^x jemals null werden?
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Nein
e^x ist immer positiv. Der Graph nähert sich für sehr kleine x der x-Achse, erreicht sie aber nie.
Aufgabe 4
Berechne f(0) für f(x) = e^x.
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1
Jede Zahl hoch 0 ergibt 1, also ist e^0 = 1. Der Graph schneidet die y-Achse bei 1.
Häufiger Fehler
Die Kettenregel zu vergessen: Bei e^(2x) muss der Faktor 2 mitgeschrieben werden, sonst ist die Ableitung falsch. Und zu glauben, e^x könne null oder negativ werden.
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