Ableitung üben
Die Ableitung beschreibt, wie schnell sich eine Funktion ändert – anschaulich die Steigung des Graphen in einem Punkt.
Änderungsraten zu messen ist überall nötig: bei Geschwindigkeit, Wachstum, Kosten und Messkurven.
Übungen mit Lösungen
Die Ableitung gibt die Steigung des Graphen an jeder Stelle an. Mit der Potenzregel wird der Exponent zum Faktor und um eins verringert. Summen leitest du gliedweise ab, konstante Faktoren bleiben stehen, eine reine Zahl fällt weg.
Aufgabe 1
Leite f(x) = x³ ab.
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f′(x) = 3x²
Nach der Potenzregel wird der Exponent 3 zum Faktor und der neue Exponent ist 3 − 1 = 2.
Aufgabe 2
Leite f(x) = 5x² − 3x + 7 ab.
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f′(x) = 10x − 3
Gliedweise: 5x² ergibt 10x, −3x ergibt −3, und die Konstante 7 fällt weg.
Aufgabe 3
Leite f(x) = 4x ab.
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f′(x) = 4
Wegen x = x¹ ist die Ableitung 4 · 1 · x⁰ = 4. Die Steigung einer Geraden ist überall gleich.
Aufgabe 4
Welche Steigung hat f(x) = x² an der Stelle x = 3?
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6
Zuerst ableiten: f′(x) = 2x. Dann einsetzen: f′(3) = 6.
Häufiger Fehler
Konstanten mitzuschleppen. Die Ableitung einer reinen Zahl ist null, weil sich der Funktionswert dort nicht ändert. Prüfe außerdem, ob nach der Steigung an einer Stelle oder nach der Ableitungsfunktion gefragt ist.
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