Extremwertprobleme und Optimierung üben
Bei Extremwertproblemen suchst du den besten Wert unter Nebenbedingungen, etwa die günstigste Verpackung bei festem Volumen.
Optimierung steckt in Logistik, Bauwesen und im maschinellen Lernen.
Übungen mit Lösungen
Bei einem Extremwertproblem suchst du den größten oder kleinsten Wert einer Größe. Schreibe zuerst die Zielfunktion auf. Drücke sie mit der Nebenbedingung durch eine einzige Variable aus, bilde die Ableitung und setze sie null. Prüfe am Ende auch die Randwerte des Definitionsbereichs.
Aufgabe 1
Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Wie lang sind die Seiten beim größten Flächeninhalt?
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5 cm und 5 cm, also ein Quadrat
Aus a + b = 10 folgt b = 10 − a. Die Fläche ist A(a) = a · (10 − a) = 10a − a². Die Ableitung 10 − 2a = 0 ergibt a = 5, damit ist b = 5.
Aufgabe 2
Warum brauchst du bei einem Extremwertproblem immer eine Nebenbedingung?
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um die Zielfunktion auf eine Variable zu bringen
Ohne Nebenbedingung hat die Zielfunktion meist unendlich viele Lösungen, weil eine Größe frei wählbar bleibt.
Aufgabe 3
Wie weist du nach, dass ein Maximum und kein Minimum vorliegt?
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mit der zweiten Ableitung
Ist die zweite Ableitung an der Stelle negativ, liegt ein Maximum vor; ist sie positiv, ein Minimum.
Aufgabe 4
Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Wie groß ist der größte Flächeninhalt?
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25 cm²
Das Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm hat den Flächeninhalt 5 · 5 = 25 cm².
Häufiger Fehler
Die Nebenbedingung zu vergessen und zwei Variablen in der Zielfunktion zu lassen. Und nur die Ableitung null zu setzen, ohne mit der zweiten Ableitung zu prüfen, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.
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