Grenzwerte und Stetigkeit üben
Du untersuchst, welchem Wert sich Funktionswerte annähern, und prüfst, ob eine Funktion stetig ist, also keine Sprünge hat.
Grenzwerte sind das Fundament der Analysis und beschreiben Vorgänge, die sich einem Endwert nähern.
Übungen mit Lösungen
Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Funktion annähert, wenn x gegen eine Stelle oder gegen unendlich läuft. Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen und beide gleich dem Funktionswert sind. Definitionslücken sind typische Stellen für Unstetigkeit.
Aufgabe 1
Berechne den Grenzwert von f(x) = 3x + 1 für x gegen 2.
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7
Bei einem Polynom darfst du direkt einsetzen: 3 · 2 + 1 = 7.
Aufgabe 2
Berechne den Grenzwert von f(x) = 1/x für x gegen unendlich.
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0
Je größer x wird, desto kleiner wird 1/x. Der Wert nähert sich 0 an.
Aufgabe 3
An welcher Stelle ist f(x) = 1/(x − 3) nicht definiert?
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bei x = 3
Bei x = 3 wird der Nenner null. Dort liegt eine Definitionslücke.
Aufgabe 4
Was bedeutet es, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden sind?
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die Funktion ist dort unstetig
Ohne übereinstimmende einseitige Grenzwerte existiert an dieser Stelle kein Grenzwert, und die Funktion ist dort unstetig.
Häufiger Fehler
Den Funktionswert mit dem Grenzwert zu verwechseln. Der Grenzwert beschreibt das Verhalten in der Nähe einer Stelle; an einer Definitionslücke gibt es überhaupt keinen Funktionswert.
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