Hauptsatz der Analysis üben
Der Hauptsatz verbindet die beiden Kernthemen der Analysis: Ableiten und Integrieren sind Umkehroperationen.
Damit kannst du Flächen berechnen, ohne Streifen zu summieren – die Grundlage vieler technischer und physikalischer Berechnungen.
Übungen mit Lösungen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet beide Gebiete: Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt das Integral von a bis b über f(x) dx = F(b) − F(a). Du integrierst also mit einer Stammfunktion und setzt die Grenzen ein.
Aufgabe 1
Berechne das Integral von 2x in den Grenzen 1 bis 3.
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8
Eine Stammfunktion ist x². Einsetzen: 3² − 1² = 9 − 1 = 8.
Aufgabe 2
Berechne das Integral von 3x² in den Grenzen 0 bis 2.
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8
Eine Stammfunktion ist x³. Einsetzen: 2³ − 0³ = 8 − 0 = 8.
Aufgabe 3
Was liefert der Hauptsatz, wenn obere und untere Grenze gleich sind?
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0
Dann ist F(a) − F(a) = 0. Ein Integral über ein Intervall der Länge null ist immer null.
Aufgabe 4
Berechne das Integral von x in den Grenzen 0 bis 4.
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8
Eine Stammfunktion ist x²/2. Einsetzen: 16/2 − 0/2 = 8.
Häufiger Fehler
Die Grenzen zu vertauschen. Der Hauptsatz verlangt obere minus untere Grenze; andersherum erhältst du das negative Ergebnis. Und zu übersehen, dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden.
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