随机变量：期望与标准差练习

随机变量把试验结果变成数：掷五次骰子出现的六点个数就是一例。

期望值是长期平均，标准差衡量波动大小。保险公司靠它定价保费，游戏设计师用它平衡掉宝概率。

例题与解析

随机变量为每个结果指定一个数。数学期望 E(X) 是长期平均值：把每个取值乘以它的概率再相加。方差衡量平均平方偏差，标准差 σ 是方差的平方根。

掷一颗骰子，点数的数学期望是多少？

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3,5

每个点数概率都是 1/6。(1+2+3+4+5+6) : 6 = 21 : 6 = 3,5。

数学期望表示什么？

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长期平均值

重复很多次时平均值会趋近期望。期望本身不必是可能出现的取值——3,5 掷不出来。

某随机变量 E(X) = 10、σ = 2，几乎所有取值落在什么范围？

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大约 4 到 16 之间

由西格玛法则，约 99,7 % 的取值落在 E ± 3σ 内，即 10 − 6 = 4 到 10 + 6 = 16。

怎样用分布表计算数学期望？

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每个取值乘它的概率，再相加

E(X) = x₁ · P(x₁) + x₂ · P(x₂) + …，直到所有取值都算进去。

把概率直接相加而不做加权。每个取值都必须乘以它自己的概率，否则得不到数学期望。

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领域: 概率与统计从 13 年级起 · 年级依据北威州课标，其他联邦州的教学安排可能不同。