极值问题与优化练习

极值问题是在约束条件下找最优解，比如体积固定时怎样用料最省。

物流、建筑和机器学习里的优化都属于这一类。

例题与解析

极值问题要求某个量的最大值或最小值。先写出目标函数，再用约束条件把它化成只含一个变量，然后求导并令导数为零。最后还要检查定义域端点的取值。

长方形周长为 20 cm，面积最大时边长是多少？

查看答案与解题过程

5 cm 和 5 cm，即正方形

由 a + b = 10 得 b = 10 − a。面积为 A(a) = a · (10 − a) = 10a − a²。令 10 − 2a = 0 得 a = 5，于是 b = 5。

极值问题为什么必须有约束条件？

查看答案与解题过程

为了把目标函数化成一个变量

没有约束条件时目标函数通常有无穷多解，因为总有一个量可以自由取值。

怎样判断是最大值而不是最小值？

查看答案与解题过程

用二阶导数判断

该点处二阶导数为负是极大值，为正则是极小值。

长方形周长为 20 cm，最大面积是多少？

查看答案与解题过程

25 cm²

边长 5 cm 的正方形面积为 5 · 5 = 25 cm²。

忘记约束条件，目标函数里留着两个变量。另外只令导数为零，却不用二阶导数判断是极大还是极小。

免费创建账号，探索数学训练，并从当前可用的练习中选择适合学习进度的内容。

领域: 微积分从 12 年级起 · 年级依据北威州课标，其他联邦州的教学安排可能不同。