Zufallsgrößen üben
Eine Zufallsgröße ordnet jedem Versuchsausgang eine Zahl zu, etwa die Zahl der Sechser bei fünf Würfen.
Ihr Erwartungswert ist das langfristige Mittel, die Standardabweichung misst die Streuung. Versicherungen kalkulieren Prämien so, und Spieleentwickler balancieren Drop-Raten damit.
Übungen mit Lösungen
Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Der Erwartungswert E(X) ist der langfristige Mittelwert: Du multiplizierst jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst die Produkte. Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung, die Standardabweichung σ ist ihre Wurzel.
Aufgabe 1
Ein Würfel zeigt die Augenzahl. Wie groß ist der Erwartungswert?
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3,5
Jede Augenzahl hat die Wahrscheinlichkeit 1/6. (1+2+3+4+5+6) : 6 = 21 : 6 = 3,5.
Aufgabe 2
Was sagt der Erwartungswert aus?
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den langfristigen Mittelwert
Bei sehr vielen Wiederholungen nähert sich der Durchschnitt dem Erwartungswert an. Er muss selbst kein möglicher Wert sein, denn 3,5 lässt sich nicht würfeln.
Aufgabe 3
Eine Zufallsgröße hat E(X) = 10 und σ = 2. In welchem Bereich liegen fast alle Werte?
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etwa zwischen 4 und 16
Nach der Sigmaregel liegen rund 99,7 % der Werte im Bereich E ± 3σ, also zwischen 10 − 6 = 4 und 10 + 6 = 16.
Aufgabe 4
Wie berechnest du den Erwartungswert aus einer Verteilungstabelle?
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jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren, dann addieren
E(X) = x₁ · P(x₁) + x₂ · P(x₂) + … bis alle Werte berücksichtigt sind.
Häufiger Fehler
Die Wahrscheinlichkeiten einfach zu addieren statt zu gewichten. Jeder Wert muss mit seiner eigenen Wahrscheinlichkeit multipliziert werden, sonst erhältst du nicht den Erwartungswert.
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