Vektoren im Raum üben
Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum durch drei Koordinaten und lassen sich addieren und mit Zahlen strecken.
Sie sind die Sprache der technischen Mechanik: Kräfte, Geschwindigkeiten und Roboterbewegungen werden als Vektoren gerechnet.
Übungen mit Lösungen
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung und hat Länge und Richtung. Du schreibst ihn als Spalte mit drei Koordinaten. Vektoren addierst du komponentenweise, und du multiplizierst sie mit einer Zahl, dem Skalar. Den Betrag berechnest du mit |v| = √(x² + y² + z²).
Aufgabe 1
Addiere a = (2; 3; 1) und b = (4; −1; 5).
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(6; 2; 6)
Komponentenweise addieren: 2 + 4 = 6, 3 + (−1) = 2 und 1 + 5 = 6.
Aufgabe 2
Berechne 3 · (1; −2; 4).
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(3; −6; 12)
Jede Koordinate wird mit 3 multipliziert.
Aufgabe 3
Berechne den Betrag von v = (3; 4; 0).
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5
|v| = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Aufgabe 4
Sind a = (2; 4; 6) und b = (1; 2; 3) parallel?
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Ja, denn a = 2 · b
Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Hier ist a das Doppelte von b.
Häufiger Fehler
Vektoren und Punkte zu verwechseln. Ein Punkt hat eine feste Lage, ein Vektor nur Länge und Richtung; derselbe Vektor passt an vielen Stellen. Und beim Betrag eine Koordinate zu vergessen.
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