Geraden und Ebenen üben
Du beschreibst Geraden und Ebenen im Raum mit Parametergleichungen und untersuchst ihre Lage zueinander.
Damit lassen sich Schnittpunkte und Winkel berechnen – die Grundlage von 3D-Grafik, Architektur und Flugbahnberechnung.
Übungen mit Lösungen
Eine Gerade im Raum beschreibst du mit einem Stützvektor und einem Richtungsvektor: g: x = p + t · u. Eine Ebene beschreibst du mit einem Stützvektor und zwei Spannvektoren oder mit einer Koordinatengleichung. Für einen Schnittpunkt setzt du die Darstellungen gleich und löst das Gleichungssystem.
Aufgabe 1
Eine Gerade hat den Stützvektor (1; 2; 3) und den Richtungsvektor (2; 0; −1). Wo liegt der Punkt für t = 2?
Lösung und Rechenweg anzeigen
(5; 2; 1)
p + 2 · u = (1; 2; 3) + (4; 0; −2) = (5; 2; 1).
Aufgabe 2
Woran erkennst du, dass zwei Geraden parallel sind?
Lösung und Rechenweg anzeigen
an ihren Richtungsvektoren
Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
Aufgabe 3
Wie prüfst du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?
Lösung und Rechenweg anzeigen
indem du ihn gleichsetzt und t bestimmst
Setze den Punkt gleich p + t · u. Ergibt jede Koordinate dasselbe t, liegt der Punkt auf der Geraden.
Aufgabe 4
Was brauchst du mindestens, um eine Ebene festzulegen?
Lösung und Rechenweg anzeigen
einen Stützvektor und zwei nicht parallele Spannvektoren
Mit nur einem Spannvektor beschreibst du eine Gerade; zwei verschiedene Spannvektoren spannen eine ganze Ebene auf.
Häufiger Fehler
Stützvektor und Richtungsvektor zu verwechseln. Der Stützvektor ist ein fester Punkt der Geraden, der Richtungsvektor gibt nur die Richtung an. Und beim Prüfen eines Punktes nicht alle drei Koordinaten zu kontrollieren.
Weiterlernen mit MatheJump
Erstelle ein kostenloses Konto und entdecke das Mathetraining. Wähle dort die verfügbaren Übungen passend zu deinem Lernstand.