Exponentielle Funktionen üben
Bei exponentiellem Wachstum wird der Bestand in gleichen Zeitschritten mit demselben Faktor multipliziert: Die Änderung hängt von der aktuellen Größe ab.
Der Graph steigt oder fällt immer steiler, die Funktionsgleichung nutzt eine Potenz mit fester Basis.
Übungen mit Lösungen
Eine Exponentialfunktion hat die Form f(x) = a · b^x. Der Startwert a ist der Wert bei x = 0. Der Wachstumsfaktor b gibt an, wie sich der Wert in jedem Schritt ändert: b > 1 bedeutet Zunahme, 0 < b < 1 Abnahme. Anders als bei linearen Funktionen ändert sich der Wert in jedem Schritt um denselben Faktor, nicht um denselben Betrag.
Aufgabe 1
Eine Bakterienkultur startet mit 200 Bakterien und verdoppelt sich stündlich. Wie lautet die Funktionsgleichung?
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f(x) = 200 · 2^x
Der Startwert ist 200. Der Wachstumsfaktor ist 2, weil sich die Anzahl jede Stunde verdoppelt.
Aufgabe 2
Wie viele Bakterien sind nach 3 Stunden vorhanden?
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1 600
f(3) = 200 · 2³ = 200 · 8 = 1 600.
Aufgabe 3
Ein Auto verliert jährlich 20 % seines Wertes. Wie groß ist der Wachstumsfaktor?
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0,8
Bei einer Abnahme von 20 % bleiben 80 % übrig: b = 1 − 0,2 = 0,8.
Aufgabe 4
Ein Kapital von 1 000 € wächst jährlich um 5 %. Wie hoch ist es nach 2 Jahren?
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1 102,50 €
f(2) = 1 000 · 1,05² = 1 000 · 1,1025 = 1 102,50.
Häufiger Fehler
Bei prozentualem Wachstum einfach zu addieren. 5 % über zwei Jahre ergeben nicht 10 %, sondern den Faktor 1,05² = 1,1025, also 10,25 %. Und Startwert und Wachstumsfaktor zu vertauschen.
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