导数与函数图像分析练习单：免费德文 PDF 与解析
11/12 年级：第 1–5 题练求导法则与切线斜率，第 6–10 题练零点、极值点、拐点、单调性与应用题。
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下载含题目与解析的德文 PDFAbleitung und Kurvendiskussion
Schreibe zu jeder Aufgabe die Ableitung und die Bedingung auf. Die ersten fünf Aufgaben üben Ableitungsregeln und Steigungen; die nächsten fünf üben die Kurvendiskussion.
Aufgabe 1
Bilde die erste Ableitung: f(x) = x³.
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f’(x) = 3x²
Potenzregel: Der Exponent 3 wird zum Faktor, der Exponent um 1 verkleinert. Also f’(x) = 3x².
Aufgabe 2
Bilde die erste Ableitung: f(x) = 4x² − 6x + 1.
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f’(x) = 8x − 6
Faktor- und Summenregel: 4x² ergibt 8x, −6x ergibt −6, die Konstante 1 fällt weg.
Aufgabe 3
Bilde die erste Ableitung: f(x) = 2x³ + 5x.
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f’(x) = 6x² + 5
2x³ ergibt 6x², und 5x ergibt 5, denn x ist x¹.
Aufgabe 4
Gegeben ist f(x) = x² − 4x. Berechne die Steigung des Graphen an der Stelle x = 3.
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f’(3) = 2
f’(x) = 2x − 4. Einsetzen: f’(3) = 2 · 3 − 4 = 2. Der Graph steigt dort mit der Steigung 2.
Aufgabe 5
Gegeben ist f(x) = x² − 6x + 5. Bestimme die Stelle, an der der Graph die Steigung 0 hat.
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x = 3
f’(x) = 2x − 6. Setze f’(x) = 0: 2x − 6 = 0 ergibt x = 3. Dort liegt der Scheitelpunkt der Parabel.
Aufgabe 6
Gegeben ist f(x) = x³ − 3x². Bestimme die Nullstellen und die Extrempunkte.
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Nullstellen x = 0 und x = 3; Hochpunkt H(0|0), Tiefpunkt T(2|−4)
Nullstellen: x³ − 3x² = x² · (x − 3) = 0, also x = 0 und x = 3. f’(x) = 3x² − 6x = 3x · (x − 2) und f’’(x) = 6x − 6. Aus f’(x) = 0 folgt x = 0 oder x = 2. Wegen f’’(0) = −6 ist H(0|0) ein Hochpunkt, wegen f’’(2) = 6 ist T(2|−4) ein Tiefpunkt.
Aufgabe 7
Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x. Bestimme den Wendepunkt und das Krümmungsverhalten.
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W(2|2); linksgekrümmt für x > 2, rechtsgekrümmt für x < 2
f’’(x) = 6x − 12 und f’’’(x) = 6. Aus f’’(x) = 0 folgt x = 2, wegen f’’’(2) = 6 ist W(2|2) ein Wendepunkt (f(2) = 2). Für x > 2 ist f’’(x) positiv, für x < 2 negativ.
Aufgabe 8
Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x. Bestimme die Intervalle, in denen der Graph steigt und fällt.
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steigend für x < 1 und für x > 3; fallend für 1 < x < 3
f’(x) = 3x² − 12x + 9 = 3 · (x − 1) · (x − 3). Für x < 1 und x > 3 ist f’(x) positiv (steigend), für 1 < x < 3 negativ (fallend).
Aufgabe 9
Führe für f(x) = x³ − 3x eine Kurvendiskussion durch.
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Nullstellen 0, √3 und −√3; H(−1|2), T(1|−2), W(0|0); punktsymmetrisch
Nullstellen: x · (x² − 3) = 0, also x = 0, x = √3 ≈ 1,73 und x = −√3. f’(x) = 3x² − 3 = 0 ergibt x = −1 und x = 1. Wegen f’’(x) = 6x ist f’’(−1) = −6 (Hochpunkt) und f’’(1) = 6 (Tiefpunkt). Aus f’’(x) = 0 folgt x = 0, wegen f’’’(0) = 6 ist W(0|0) ein Wendepunkt.
Aufgabe 10
Für 0 ≤ x ≤ 6 beschreibt G(x) = −x³ + 6x² den Gewinn eines Betriebs (x in Hundert Stück, G in Hundert Euro). Bestimme die gewinnmaximale Menge.
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x = 4, also 400 Stück; maximaler Gewinn 3 200 €
G’(x) = −3x² + 12x = −3x · (x − 4), also x = 4 (x = 0 ist ein Rand). Wegen G’’(4) = −12 < 0 liegt dort das Maximum: G(4) = 32. Rand: G(0) = G(6) = 0, also 3 200 €.