Derivatives and curve sketching: free German worksheet with solutions (PDF)
Grades 11/12: questions 1–5 practise differentiation rules and gradients; 6–10 cover roots, stationary and inflection points, monotonicity and one application.
PDF and questions in German
Download German PDF with questions and solutionsAbleitung und Kurvendiskussion
Schreibe zu jeder Aufgabe die Ableitung und die Bedingung auf. Die ersten fünf Aufgaben üben Ableitungsregeln und Steigungen; die nächsten fünf üben die Kurvendiskussion.
Aufgabe 1
Bilde die erste Ableitung: f(x) = x³.
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f’(x) = 3x²
Potenzregel: Der Exponent 3 wird zum Faktor, der Exponent um 1 verkleinert. Also f’(x) = 3x².
Aufgabe 2
Bilde die erste Ableitung: f(x) = 4x² − 6x + 1.
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f’(x) = 8x − 6
Faktor- und Summenregel: 4x² ergibt 8x, −6x ergibt −6, die Konstante 1 fällt weg.
Aufgabe 3
Bilde die erste Ableitung: f(x) = 2x³ + 5x.
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f’(x) = 6x² + 5
2x³ ergibt 6x², und 5x ergibt 5, denn x ist x¹.
Aufgabe 4
Gegeben ist f(x) = x² − 4x. Berechne die Steigung des Graphen an der Stelle x = 3.
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f’(3) = 2
f’(x) = 2x − 4. Einsetzen: f’(3) = 2 · 3 − 4 = 2. Der Graph steigt dort mit der Steigung 2.
Aufgabe 5
Gegeben ist f(x) = x² − 6x + 5. Bestimme die Stelle, an der der Graph die Steigung 0 hat.
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x = 3
f’(x) = 2x − 6. Setze f’(x) = 0: 2x − 6 = 0 ergibt x = 3. Dort liegt der Scheitelpunkt der Parabel.
Aufgabe 6
Gegeben ist f(x) = x³ − 3x². Bestimme die Nullstellen und die Extrempunkte.
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Nullstellen x = 0 und x = 3; Hochpunkt H(0|0), Tiefpunkt T(2|−4)
Nullstellen: x³ − 3x² = x² · (x − 3) = 0, also x = 0 und x = 3. f’(x) = 3x² − 6x = 3x · (x − 2) und f’’(x) = 6x − 6. Aus f’(x) = 0 folgt x = 0 oder x = 2. Wegen f’’(0) = −6 ist H(0|0) ein Hochpunkt, wegen f’’(2) = 6 ist T(2|−4) ein Tiefpunkt.
Aufgabe 7
Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x. Bestimme den Wendepunkt und das Krümmungsverhalten.
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W(2|2); linksgekrümmt für x > 2, rechtsgekrümmt für x < 2
f’’(x) = 6x − 12 und f’’’(x) = 6. Aus f’’(x) = 0 folgt x = 2, wegen f’’’(2) = 6 ist W(2|2) ein Wendepunkt (f(2) = 2). Für x > 2 ist f’’(x) positiv, für x < 2 negativ.
Aufgabe 8
Gegeben ist f(x) = x³ − 6x² + 9x. Bestimme die Intervalle, in denen der Graph steigt und fällt.
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steigend für x < 1 und für x > 3; fallend für 1 < x < 3
f’(x) = 3x² − 12x + 9 = 3 · (x − 1) · (x − 3). Für x < 1 und x > 3 ist f’(x) positiv (steigend), für 1 < x < 3 negativ (fallend).
Aufgabe 9
Führe für f(x) = x³ − 3x eine Kurvendiskussion durch.
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Nullstellen 0, √3 und −√3; H(−1|2), T(1|−2), W(0|0); punktsymmetrisch
Nullstellen: x · (x² − 3) = 0, also x = 0, x = √3 ≈ 1,73 und x = −√3. f’(x) = 3x² − 3 = 0 ergibt x = −1 und x = 1. Wegen f’’(x) = 6x ist f’’(−1) = −6 (Hochpunkt) und f’’(1) = 6 (Tiefpunkt). Aus f’’(x) = 0 folgt x = 0, wegen f’’’(0) = 6 ist W(0|0) ein Wendepunkt.
Aufgabe 10
Für 0 ≤ x ≤ 6 beschreibt G(x) = −x³ + 6x² den Gewinn eines Betriebs (x in Hundert Stück, G in Hundert Euro). Bestimme die gewinnmaximale Menge.
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x = 4, also 400 Stück; maximaler Gewinn 3 200 €
G’(x) = −3x² + 12x = −3x · (x − 4), also x = 4 (x = 0 ist ein Rand). Wegen G’’(4) = −12 < 0 liegt dort das Maximum: G(4) = 32. Rand: G(0) = G(6) = 0, also 3 200 €.
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